skriptum-ana34.pdf

Přednáška 1

Bodová konvergence, motivační příklady, stejnoměrná konvergence, Bolzanovo-Cauchyho kritérium.

1.1 Úvod a bodová konvergence
1.2 Stejnoměrná konvergence

Přednáška 2

Věta o limitě, o spojitosti, o integraci, o derivaci.

1.3a Věty o záměně
1.3b Věty o záměně
1.3c Věty o záměně

Přednáška 3

Stejnoměrná konvergence funkčních řad, Bolzanova-Cauchyho podmínka, Weierstrassovo kritérium, komplexní exponenciela, Dirichletovo a Abelovo kritérium, věty o záměně pro řady.

1.4a Funkční řady
1.4b Funkční řady

Přednáška 4

Mocninné řady, Cauchyho-Hadamardova věta, stejnoměrná konvergence mocninné řady, Abelovy věty, integrování a derivování mocninné řady, Taylorova řada, reálně analytické funkce.

1.5a Mocninné řady
1.5b Mocninné řady
1.5c Mocninné řady

Přednáška 5

Trigonometrická řada, Fourierova řada, Eulerovy vzorce, Dirichletova věta, Riemannovo lemma, bodová konvergence Fourierovy řady, Diniho kritérium.

1.6a Trigonometrické řady
1.6b Trigonometrické řady

Přednáška 6

Věta o bodové konvergenci Fourierovy řady, Besselova nerovnost.

1.6c Trigonometrické řady
1.6d Trigonometrické řady

Přednáška 7

Jordanova věta o stejnoměrné konvergenci Fourierovy řady, Parsevalova rovnost.

1.6e Trigonometrické řady
1.6f Trigonometrické řady

Přednáška 8

Normovaný prostor, p-normy, metrický prostor, otevřená množina v metrickém prostoru, topologie, kotopologie.

2.1a Úvod do topologie
2.2a Topologie

Přednáška 9

Báze topologického prostoru, lokální báze v bodě, vnitřek, uzávěr, hranice, hromadný a izolovaný bod.

2.2b Topologie
2.2c Topologie

Přednáška 10

Axiomy oddělitelnosti, limita posloupnosti, topologický podprostor.

2.2d Topologie
2.2e Topologie
2.2f Topologie

Přednáška 11

Spojitost, ekvivalence norem, stejnoměrná spojitost, limita zobrazení, Heineho věta.

2.3a Spojitost
2.3b Spojitost

Přednáška 12

Kompaktnost, Cantorova věta, hromadná hodnota posloupnosti, posloupnost s konvergetní podposloupností.

2.4a Kompaktnost
2.4b Kompaktnost

Přednáška 13

Kompaktnost a sekvenční kompaktnost v metrických prostorech, kompaktnost a spojitost, kompaktnost uzavřeného omezeného intervalu.

2.4c Kompaktnost
2.4d Kompaktnost
2.4e Kompaktnost

Přednáška 14

Tychonovova věta, ekvivalence norem na prostoru konečné dimenze, Heineho-Borelova věta, Bolzanova-Weierstrassova věta.

2.4f Kompaktnost
2.4g Kompaktnost
2.4h Kompaktnost

Přednáška 15

Cauchyovská posloupnost, úplnost, vztah úplnosti a kompaktnosti, Banachova a Browerova věta o pevném bodě.

2.5a Úplnost
2.5b Úplnost
2.5c Úplnost

Přednáška 16

Souvislost, základní vlasnosti, souvislost a uzávěr, souvislost a spojitost, souvislé podmnožiny R, komponenta souvislosti.

2.6a Souvislost
2.6b Souvislost
2.6c Souvislost

Přednáška 17

Křivka, křivková souvislost, lokálně křivková souvislost, topologická sinusoida, homeomorfní euklidovské prostory.

2.6d Souvislost
2.6e Souvislost

Přednáška 18

Derivace funkce více proměnných, norma lineárního zobrazení a její vlastnosti, derivace a spojitost.

3.1a Derivace
3.1b Derivace

Přednáška 19

Derivace složené funkce, gradient, parciální a směrová derivace.

3.1c Derivace
3.2a Parciální derivace

Přednáška 20

Vztah derivace a parciálních derivací, Jacobiho matice zobrazení.

3.2b Parciální derivace

Přednáška 21

Tečná nadrovina k vrstevnici a ke grafu funkce, tečný prostor, Věta o přírůstku a její důsledky.

3.2c Parciální derivace
3.3 Věta o přírůstku

Přednáška 22

Parciální derivace vyšších řádů, věta o záměně smíšených parciálních derivací, třídy hladkosti, derivace vyšších řádů, Hessova matice funkce.

3.4a Derivace vyšších řádů
3.4b Derivace vyšších řádů

Přednáška 23

Taylorova věta pro funkce více proměnných.

3.5 Taylorova věta

Přednáška 24

Lokální extrémy funkcí více proměnných, nutná a postačující podmínka extrému.

3.6a Extrémy
3.6b Extrémy

Přednáška 25

Lokální extrémy funkcí více proměnných, další nutná podmínka extrému, konvexnost, metoda nejmenších čtverců.

3.6c Extrémy
3.6d Extrémy

Přednáška 26

Věta o inverzní funkci, věta o otevřeném zobrazení.

3.7a Inverzní funkce
3.7b Inverzní funkce
3.7c Inverzní funkce

Přednáška 27

Věta o implicitní funkci.

3.8a Implicitní funkce
3.8b Implicitní funkce

Přednáška 28

Vázané extrémy funkce více proměnných, tečný prostor, nutná podmínka vázaného extrému.

3.9a Vázané extrémy
3.9b Vázané extrémy
3.9c Vázané extrémy

Přednáška 29

Postačující podmínka vázaného extrému a další nutná podmínka vázaného extrému.

3.9d Vázané extrémy
3.9e Vázané extrémy
3.9f Vázané extrémy

Přednáška 30

Základní problém teorie míry, Banachova-Tarského věta, sigma algebra, sigma algebra generovaná systémem množin, borelovská sigma algebra.

4.1 Teorie míry - úvod
4.2a Sigma algebra

Přednáška 31

Produktová sigma algebra, produkt borelovských sigma algeber, elementární systém, míra a její základní vlastnosti.

4.2b Sigma algebra
4.3a Míra

Přednáška 32

Množina nulé míry, terminologie "skoro všude", úplná míra, věta o zúplnění míry, vnější míra, Carathéodoryho věta.

4.3b Míra
4.4a Vnější míra

Přednáška 33

Pramíra na algebře, konstrukce míry z pramíry, borelovská míra na R, konstrukce borelovských měr na R, Lebesgueova-Stieltjesova míra, Lebesgueova míra.

4.4b Vnější míra
4.5a Borelovské míry

Přednáška 34

Regularita Lebesgueových-Stieltjesových měr, věty o měřitelných množinách Lebesgueových-Stieltjesových měr.

4.5b Borelovské míry
4.5c Borelovské míry

Přednáška 35

Lebesguova míra na R a její vlastnosti, lebesgueovsky měřitelné množiny, Cantorovo diskontinuum a Cantorova funkce.

4.5d Borelovské míry
4.5e Borelovské míry

Přednáška 36

Měřitelné zobrazení, měřitelná funkce, základní vlastnosti.

5.1a Měřitelné funkce

Přednáška 37

Další vlastnosti měřitelných funkcí, kladná a záporná část funkce, jednoduché funkce, aproximace měřitelných funkcí jednoduchými.

5.1b Měřitelné funkce
5.1c Měřitelné funkce

Přednáška 38

Integrál jednoduché funkce, integrál nezáporné funkce, Věta o monotónní konvergenci.

5.2a Integrace nezáporné funkce
5.2b Integrace nezáporné funkce

Přednáška 39

Vlastnosti integrálu nezáporných funkcí, Fatouovo lemma, Integrál komplexní funkce, integrabilní funkce, vlastnosti integrálnu komplexní funkce.

5.2c Integrace nezáporné funkce
5.3a Integrace obecné funkce

Přednáška 40

Rozšíření pojmů měřitelná a integrabilní funkce, Lebesgueova věta.

5.3b Integrace obecné funkce
5.3c Integrace obecné funkce

Přednáška 41

Hustota jednoduchých a spojitých funkcí v prostoru integrabilních funkcí, Věty o limitě a derivaci, vztah Riemannova a Lebesgueova integrálu.

5.3d Integrace obecné funkce
5.3e Integrace obecné funkce
5.4 Vztah R. a L. integrálu

Přednáška 42

Součin měr a Tonelliho-Fubiniho věta.

5.5a Součin měr
5.5b Součin měr
5.5c Součin měr

Přednáška 43

Lebesgueova míra na R^n, vnější a vnitřní regularita, translační invariance Lebesgueovy míry.

5.6a Lebesgueova míra na R^n
5.6b Lebesgueova míra na R^n

Přednáška 44

Lineární regulární transformace v Lebesgueově integrálu, rotační invariuance Lebesgueovy míry, Věta o substituci.

5.6c Lebesgueova míra na R^n
5.6d Lebesgueova míra na R^n

Přednáška 45

Lebesgueovy prostory, Hölderova nerovnost, Minkowského nerovnost.

5.7a Lebesgueovy prostory
5.6b Lebesgueovy prostory

Přednáška 46

Úplnost Lebesgueových prostorů.

5.7c Lebesgueovy prostory
5.6d Lebesgueovy prostory

Přednáška 47

Křivka a její délka.

6.1 Křivka a délka křivky

Přednáška 48

Křivkové integrály 1. a 2. druhu, Greenova věta.

6.2 Křivkové integrály
6.3 Greenova věta

Přednáška 49

Plošné integrály 1. a 2. druhu.

6.4 Plošné integrály

Přednáška 50

Gaussova a Stokesova věta, geometrický význam divergence a rotace.

6.5 Gaussova věta
6.6 Stokesova věta

Komplet

Playlist na YouTube